オルタネート分割　=　辺に平行な線で分割する方法
オルタネート分割で、実際に正20面体からジオデシックドームを作ってみましょう。

正20面体の正3角形の3つの辺を同じ長さに分割します。分割数は、2等分、3等分、4等分....とすることができ、分割数を多くすると、より球に近いジオデシックドームになります。

ここでは、3等分にします。すると右図のようになります。

正3角形を3等分したところ
分割した各辺の分割点同士を線でつなぐと、3つの辺に平行に、正3角形の内側に線を2本づつ描くことができます。

全てつなぐと、右の図のように、元の正3角形の内側に、同じ形の小さな正3角形が9つできます。

9つの小さな正3角形に分割された
分割したままでは元の正20面体と同じなので、分割した9つの正3角形を球の表面に投影します。

まず、正20面体を包み込む球の中心と9つの正3角形の各頂点を結ぶ線を引きます。


球の中心と9つの頂点を結ぶ線
9つの線と球の表面が交わった点を直線（右図の赤い線）で結ぶと、球面の内側に沿って新しく9つの3角形ができます。

【注意】新しくできた9つの3角形は、もう正3角形ではありません。


球に内接する9つの3角形
正20面体のほかの面も同じように分割して球面に投影すると、より球に近い立体になります。
これがジオデシックドーム（全球）です。

ここでは、辺の長さを3等分にして1つの正3角形を9つに分割したので、全体では180面になりました。

【注意】すべての面の形が同じではないので「正180面体」ではありません。
面であれば2種類の2等辺3角形で構成することができます。面ではなく、角材やストローなどのフレームで作る場合でも、3種類の異なる長さの材料で組み立てることができます。

辺の長さを3等分で作成したジオデシックドーム
3角形の辺の長さを4等分にするとより球に近づきますが、面の数が増え、340面になります。3分割に比べ材料の種類や量も多く、加工や組み立ての手間も増えることになります。

直径40〜50フィート程度のジオデシックドームなら、3等分のオルタネート分割法で十分な空間を確保することができます。

辺の長さを4等分で作成したジオデシックドーム